The Four Fours Puzzle: To Infinity and Beyond! (2023)

Hej allihopa! Eftersom mina två senaste artiklar har varit mer på djupet tänkte jag att vi skulle dyka ner i något lite mer tillgängligt (men lika roligt!) den här veckan. Jag tog ledigt förra veckan på fars dag, men den här artikeln kommer inte att göra mig besviken!

Vi kommer att titta på ett problem som heterFyra fyror problem.

Om du någonsin har hört problemet är det känt för sin enkelhetochdess kreativitet. Det finns så många riktningar du kan ta den här, så jag är spänd på att se vad du tycker!

För den här artikeln, sluta rulla varje gång du ser en fråga i fetstil! Se om du kan leka och svara på den frågan innan du fortsätter, så får du lite mer av det roliga med processen!

Låt oss börja!

Four Fours-problemetber dig helt enkelt att ta valfri siffra och försöka uttrycka det i termer av fyra 4:or. Låt mig visa dig vad jag menar.

Låt oss först bara använda addition, subtraktion, multiplikation och division för att manipulera våra fyror. Du får också använda vilken parentes du vill.

Sedan, om vi vill göra 1 av fyra 4:or, kan vi kanske skriva:

(4/4)*(4/4) = 1.

Om vi ​​ville göra 3 kunde vi prova:

(4+4+4)/4 = 3.

Eller, om vi ville göra 7, skulle detta fungera:

(4+4)-(4/4) = 7

Hur många siffror kan du försöka göra? Hur många olika sätt kan du tänka för att göra dem?

Om du just nu undrar exakt vart den här artikeln är på väg-stå ut med mig! Det här lilla pusslet kanske har mer att erbjuda än du trodde :) Vi kommer till och med att prata lite om programmering idag, och vi kommer att titta på hur vi kan utöka problemet oändligt. Den här artikeln kommer dock att växla lite under svårighetsgraden för den förra.

Låt oss begränsa oss till en mer specifik fråga: Vilka positiva heltal under 20 kan du göra?

Det visar sig att du kan göra exakt 14 av de 20! Vad är dem?

Med tillstånd av Wikipedia.

Fick du dem? Här är de:

1 =(4/4)*(4/4)

2 =(4/4)+(4/4)

3 =(4+4+4)/4

4 =4+ (4-4)*4

5 =(4 + 4*4)/4

6 =4+ (4+4)/4

7 =(4+4)-(4/4)

8 =(4+4)-(4-4)

9 =4+4+(4/4)

12= 4*(4-(4/4))

15 =4*4-4/4

16 =4*4*(4/4)

17 =4*4+4/4

20 =4*((4/4)+4)

Jag tror att det intressanta här är mer än dukan inteuttryck 10, 11, 13, 14, 18 och 19 med bara fyra fyror än vad duburkuttrycka resten. Vi har fyra fyror och vi har fyra operationer, och ändå är vi begränsade. För att illustrera detta, försök att svara på denna fråga:

Det finns exakt 11 andra positiva heltal vi kan uttrycka med addition, multiplikation, subtraktion, division och fyra fyror. Vad är dem? Tips: Den största är 256 = 4*4*4*4.

Med tillstånd av PDFSlides.Net

Här är de:

24 =(4+4*4)+4

28 =((4+4)*4)-4

32 =(4*4)+(4*4)

36 =((4+4)*4)+4

48 =(4*4-4)*4

60 =4*4*4-4

64 =(4+4)*(4+4)

68 =4*4*4+4

80 =(4*4+4)*4

128 =(4*4)*(4+4)

256 =4*4*4*4

Wow, det finns verkligen bara 25 heltal vi kan uttrycka med fyra fyror och de fyra grundläggande operationerna! Men ta inte mitt ord för det. Testa det och se om du kan komma på några andra. Se om du kan övertyga dig själv om att detta är sant, och försök till och med bevisa det!

En abstrakt diskussion

I det här avsnittet kommer jag att prata om att ställa in problemet i syfte att programmera det. För mig var det från början inte självklart att upptäcka hur många heltal som kan uttryckas på det här sättet, så det slutade faktiskt med att jag programmerade ut det (i Python) och bekräftade att svaret är 25. Du behöver inte veta hur man gör kod för att förstå vad jag ska säga, och jag tror att det ger en viss insikt i problemet, men om den här diskussionen blir för abstrakt för dig, hoppa gärna ner till nästa avsnitt!

Sättet jag satte upp programmet var bara att uttömmande kontrollera alla möjligheter, genom att sätta upp 6 olika "klasser" av ordningsföljder för operationerna beroende på om vi adderade/subtraherade/multiplicerade/dividerade den första och de andra fyra först, den andra och den tredje fyra först, eller den tredje och den fjärde fyra först (totalt3 möjligheter).

Sedan skulle vi ha tre siffror och vi skulle få välja om vi tillämpar nästa operation på de första två siffrorna (det första och andra) eller de andra två siffrorna (det andra och tredje), för totalt2 möjligheter.

Sedan har vi två siffror kvar och vi måste tillämpa den sista operationen på dem (1 möjlighet).

Dessa väljs självständigt, så det finns totalt 6 möjligheter.

Eftersom addition, subtraktion, multiplikation och division måste tillämpas påtvåsiffror som ärprecis bredvidtill varandra i serien av fyra, dessa är alla möjliga kombinationer.

Här är de 6 klasserna (eller beställningar vi kan tillämpa operationerna i). Här ersätter jag varje operation med #, och jag listar också vilka par vi tillämpar operationen på i varje steg. Till exempel betyder 1-2, 2-3, 1-2 att vi tillämpade den första operationen på de två första fyrorna, sedan nästa till den andra och tredje siffran kvar efter att vi tillämpat den första operationen, och slutligen vår sista operation på två på slutet.

((4#4)#4)#4 1-2, 1-2, 1-2

(4#4)#(4#4) 1-2, 2-3, 1-2

(4#(4#4))#4 2-3, 1-2, 1-2

4#((4#4)#4) 2-3, 2-3, 1-2

(4#4)#(4#4) 3-4, 1-2, 1-2

4#(4#(4#4)) 3-4, 2-3, 1-2

Allt detta är ett analytiskt sätt att hålla reda på de olika möjligheterna att addera/subtrahera/multiplicera/dividera våra fyror! # fungerar som en platshållare för vår möjliga verksamhet, och vårt resonemang hjälpte oss att bekräfta att vi har alla möjliga beställningar.

Sedan är vi fria att be datorn att ansluta och prova alla möjliga kombinationer för varje #—addition, subtraktion, multiplikation och division—och ge oss slutligen de siffror som är möjliga i slutet. (Oroa dig dock inte, slutsatsen vi kommer fram till i slutet av den här artikeln är inte alls lika ful som den här!)

Ett par specifika anteckningar:

Lägg märke till att den femte och den andra klassen blev densamma! Det beror på att vi i princip tillämpar operationer på de två första fyrorna och de andra två fyrorna separat (och det spelar ingen roll vilket par vi gör först) innan vi tillämpar operationen i mitten!

Lägg också märke till att om vi använder addition eller multiplikation (eftersom de är kommutativa, om du känner till det ordet), kommer några av klasserna att bli likvärdiga. Till exempel, pluggning utöver den första och den fjärde, får vi:((4#4)#4)+4 = 4+((4#4)#4)

Lägg också märke till att många av dessa kombinationer kan sluta som negativa tal eller bråk, och vi måste filtrera bort dem när vi programmerar detta. Vi måste också ta hänsyn till eventuella odefinierade kombinationer eftersom vi inte kan dividera med noll.

Detta hjälper till att förklara varför vi bara fick 25 siffror (eftersom många av kombinationerna kan bli lika eller ogiltiga), men det förklarar det inte helt. Vårt schema skulle trots allt ge en potentiell hög på 4*4*4*6 =384 (4 operationer, tillämpade 3 gånger och 6 klasser), men i slutändan får vi bara 25 nummer. Jag tror att det är ett bevis på problemets svårighet— man måste vara ganska kreativ för att komma på ett nytt nummer som fungerar!

Lite om programmering

Jag ska ta en stund att säga att kodning är en mycket värdefull färdighet om du vill ägna dig åt matematik. Vissa problem löses bäst med eleganta argument, somSexfärgadochFemfärgadSatser som jag pratade om i de två senaste artiklarna, och att resonemang är kärnan i matematik. Men ibland vill du bara veta ett svar, och det kan till och med vara svårt (eller omöjligt) att testa problemet med ren matematik. Det är där kodning kommer in – för att bekräfta något du tror är sant eller för att hitta ett svar på ett problem för dig. Trots allt slutade fyrfärgssatsen med att bevisas med datorer!

Dessutom är den här typen av noggranna resonemang för att hitta de möjligheter vi hade att be datorn testa väldigt likt det resonemang man ofta måste tillämpa inom olika matematikområden. Om du någonsin har sett den här typen av problem,

Med tillstånd av MindYourDecisions

du vet att det bästa sättet att närma sig problemet är att sortera trianglarna du letar efter i klasser: kanske de som innehåller en liten triangel, de som innehåller fyra, de som innehåller nio och så vidare, för att räkna upp hela summan . Matte förstärker programmering och programmering förstärker matematik, så du kommer förmodligen att bli bra på en om du är bra på en annan!

Jag påstår mig inte vara någon form av expert på datorprogrammering—Jag har lärt mig allt jag vet, men jag känner till några fantastiska resurser som jag kan hänvisa dig till om du vill lära dig mer.

Om du är intresserad av att se min kod kan du lämna en kommentar, så diskuterar jag det med dig. Och om du vet hur man kodar, varför inte försöka skriva lite själv? Det är en riktigt avslöjande övning.

Ok, tillbaka till problemet!

Vi kan bara hitta 25 siffror med de grundläggande operationerna, men Four Fours-problemet ber oss hitta ett sätt att uttrycka ALLA nummer med fyra fyror. Det är ett ganska stort gap att försöka överbrygga, men hur kan vi överbrygga det?Tänk om det fanns några operationer vi kunde lägga till i paketet som på något sätt skulle ge oss möjligheten att skapa vilket nummer som helst?

Låt oss försöka lägga till exponenter!

Hur många ytterligare nummer kan du skapa med exponenter? Bara experimentera; Jag förväntar mig inte att du ska hitta dem alla.

Med tillstånd av NZ Maths.

Det visar sig att det finns några fler möjligheter! Det finns totalt 78 nummer (där källan är min Python-kod) du kan skapa om du inkluderar exponenter. Här är några av siffrorna vi nu har lagt till:

63 =((4^4)-4)/4

81 =(4-(4/4))^4

240 =(4^4)-(4*4)

16384 =((4+4)^4)*4

Det är logiskt att vi har fler möjligheter. När allt kommer omkring, som ett minimum, har vi fler sätt att uttrycka siffror som vi redan har med ett annat antal fyror. Vi kan uttrycka 1 som 4^(4-4) nu istället för bara (4/4) och det ger oss fler sätt att manipulera fyrorna för att ge fler siffror.

Men 78 är fortfarande långt ifrån något positivt heltal någonsin.

Låt oss försöka lägga till några fler operationer.

Hur är det med sammanlänkning? (Detta är bara en fancy term för att kombinera siffrorna tillsammans. Som att vi kan göra 44 genom att "sammanfoga" 4 och 4.) Hur många kan du skapa nu?

Här är några nya möjligheter från det:

44 =44*(4/4)

111 =444/4

Men möjligheterna är fortfarande begränsade.

Här är nyckeln.Vi måste hitta en operation som vi bara behöver tillämpa på en fyra. När vi bara använder operationer som tillämpas på två fyror åt gången, begränsar vi oss till antalet möjliga operationer vi har, de tre punkterna mellan fyror för att tillämpa dem (4#4#4#4) och de sex ordningar där de kan tillämpas. Kombinationen av dessa begränsningar är ett ändligt antal.

Men med en operation som bara kan tillämpas på ett nummer, kan vi tillämpa den ett oändligt antal gånger, och det ärmöjligatt viskulle kunnanå varje heltal. Låt oss titta på några av dessa operationer.

Om du använder enroten ur, du behöver bara en 4 för att tillämpa den på. Vi kan magiskt förvandla vilken 4:a som helst till en 2:a med bara en kvadratrot. sqrt(4)=2, och vi kan naturligtvis gå ännu längre än så med flera kvadratrötter.

Detta tillåter oss att äntligen få ett sätt att uttrycka 10 (som 4 + 4 + 4 - sqrt(4)), och att få ett sätt att uttrycka 13 (som 44/4 + sqrt(4)).

Faktum är att om vi tillåter ytterligare en operationfaktoriell,som säger att vi ska multiplicera alla siffror mindre än eller lika med talet vi tillämpar det på (så att 4 faktoriellt skrivet 4! är lika med 4*3*2 = 24 och 3! är lika med 3*2=6), kan vi få ett annat nummer med bara en 4:4! = 24.

Detta gör att vi äntligen kan uttrycka de första 20 heltal i termer av fyra fyror:

Med tillstånd av i.pinimg.com

Det är din tur! Vänd den på vid gavel. Använd alla operationer du kan tänka dig och se om du kan uttrycka något tal du kan tänka dig i termer av fyra fyror. Du kan använda addition, multiplikation, subtraktion, division, potenser, kvadratrötter, faktorialer, sammanlänkning, även saker som decimaler och staplar (se nedan) och välja funktioner. Allt är spel här! Försök att skriva de första 40, eller de första 100, eller till och med de första 200!

Exempel på taktnotation

Jag hoppas att du hittat något intressant! Detta är versionen av problemet i stort sett alla känner till. Det verkar gränslöst, och det kräver så mycket kreativitet. Det finns massor av berättelser om matematiker som tar en tågresa eller ett flyg genom att se hur långt de kan ta sig igenom Four Fours-problemet om de börjar vid 1 och går upp. Det är riktigt kul att försöka komma på en möjlighet på plats, och det kräver lite påhittighet också.

Nu, med allt vidöppet, finns det ingen anledning till att du inte kan uttrycka detnågraantal i termer av fyra fyror. Eftersom vi har verksamheter som gäller en 4:a har vi oändligt många möjligheter.

Men vi har fortfarande ingen anledning att tro att varje nummer är möjligt. Kanske är bara ett ändligt antal av de oändliga möjligheterna legitimt positiva heltal (kanske resten är bråk eller negativa) eller så kan vi helt enkelt hoppa över ett visst tal helt och hållet när vi tillämpar alla dessa kombinationer. Vad vi behöver är enschema, en uppsättning som kan ge oss alla positiva heltal om vi justerar någon aspekt av den.

Vi är äntligen vid den coolaste delen av problemet!

Detta problem med oändliga fyra fyror var faktiskt ett öppet problem i många, många år,tills Paul Dirac, en nobelprisbelönt fysiker, besegrade pusslet genom att hitta en lösning för alla värden. Här är vad han hittade:

Vi kan ta fyra fyra-problemet och förlänga det hela vägen till oändligheten! Innan vi börjar, se om du kan komma på en metod själv.

Med tillstånd av Numberphile

Den enda operationen vi kommer att behöva lägga till vår repertoar ärlogga.

Om du inte vet vad en logg är eller om du behöver en kort uppfräschning, kom bara ihåg att en logg (fullständigt namn: logaritm) är i princip det omvända till en exponent. Vi hittar i huvudsak kraften till vilken vi behöver höja ett nummer för att få ett annat nummer:

Med tillstånd av Basic Mathematics

Till exempel, om vi vet att 3^4=81, skulle vi säga att log_3(81) = 4. Basen för en logg (b ovanför—vanligtvis uttryckt med en nedsänkt men här med ett understreck) är numret vi skulle höja till viss makt (alias logaritmen) för att få numret vi applicerar loggen på (här, x).

Här kommer vi att använda-du gissade det—log bas 4 (log_4). Vi kommer också att använda loggbas 1/2 (log_(1/2)). Den andra saken vi kommer att använda, som jag har nämnt är extremt värdefull eftersom den bara behöver appliceras på ett tal, är kvadratroten. Det är allt.

En grundläggande identitet för loggar är denna: log_4(4^n)=n. Tänk på det så här: Loggen ber oss ta reda på vilken kraft vi behöver för att höja 4 för att få 4^n. Det är bara n.

Till exempel:

Med tillstånd av Numberphile

n behöver inte vara ett heltal! Denna identitet fungerar för alla värden av n.

I synnerhet visar det sig att att ta en kvadratrot är detsamma som att ta en siffra i potensen 1/2. Därför, 4^(1/2) = sqrt(4) = 2 och om vi tillämpar en logg på detta får vi log_4(sqrt(4)) = 1/2.

Med tillstånd av Numberphile

Nu är vi på väg mot svaret!

Låt oss fortsätta. Vad händer om vi tar flera kvadratrötter av våra fyra? Vad är till exempel log_4(sqrt(sqrt(4))? Numberphile har svaret:

Med tillstånd av Numberphile

Vad sägs om tre kvadratrötter? Det visar sig att log_4(sqrt(sqrt(sqrt(4))) = 1/8. Och för fyra kvadratrötter, log_4(sqrt(sqrt(sqrt(sqrt(4)))) = 1/16. Och detta fortsätter På exakt detta sätt genom att lägga till så många kvadratrötter som vi vill, kan vi få sekvensen 1/32, 1/64, 1/128, och så vidare... Låt oss kalla detta halveringssekvensen.

Vi har nu ett sätt att erhålla hela serien 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 och så vidare (eller med andra ord, 1 över valfri potens av 2, halveringssekvensen), med bara TVÅ FYROR , bara genom att stapla extra kvadratrötter på 4:an i vårt loguttryck.

Med tillstånd av Numberphile

Vi kan stapla på ett oändligt antal kvadratrötter. Men kom ihåg att vi vill hitta ett sätt att uttrycka vilket positivt heltal som helst, inte vilket tal som helst i halveringssekvensen. Hur kan vi förvandla vår halveringssekvens till positiva heltal? Vi måste anställa två fyra till på något sätt.Ser du det?

Vi har alla potenserna 1/2 i vår sekvens (det vill säga (1/2)^1= 1/2, (1/2)^2= 1/4, (1/2)^3= 1/8 etc), så allt vi behöver är ett sätt att isolera exponenterna i den sekvensen med ytterligare två fyror... men hallå, det är bara en annan logaritm! (Kom ihåg att vi sa log_4(4^n) = n, och med exakt samma resonemang log_(1/2)((1/2)^n) = n. Vi behöver bara ta en till logg (denna gång, bas 1/2) för att isolera den exponenten.)

Med tillstånd av Numberphile

Allt vi behöver göra nu då är att ta log_(1/2) av vår halveringssekvens. Tack och lov finns det ett enkelt sätt att göra detta med fyror. Vi skriver bara 1/2 = sqrt(4)/4. Sedan, här är hela formuläret:

Med tillstånd av Numberphile

Det är allt. Medan andra matematiker letade efter factorials och valde funktioner och alla möjliga bisarra operationer för att se hur många siffror de kunde göra, var allt som krävdes för Dirac loggar och kvadratrötter. Ibland kan de svåraste problemen verka enkla i efterhand.

RESURSER:

Här är videon från Numberphile som introducerade mig till detta lilla bevis. Jag ger dem all ära för idén och gifs för det sista avsnittet av denna artikel:

Gå hit om du vill hitta några lösningar för de första 100 numren:

https://www.slideshare.net/sbishop2/four-fours-solutions

Denna länk har ännu fler möjligheter:

pdfslide.net/documents/the-four-fours-game.html

Om du någonsin vill utöka det här problemet, försök att tänka på de sex sexorna:

Med tillstånd av Occupy Math

Eller de fem femmorna:

Med tillstånd av Occupy Math

SLUTSATS:

Jag hoppas att du gillade dagens artikel. Det var lite annorlunda än jag normalt gör, eftersom det är ett pussel som fokuserar mer på att gissa dig fram till ett svar än något annat, men det slutade verkligen i lite briljans, och jag hoppas att det avslöjade något av insikten om problem- lösning.

Jag hoppas att du blir inspirerad i sommar att ägna dig åt matematik (eller kodning eller någon annan STEM-disciplin) oavsett om det är av mina artiklar eller en helt annan källa, och jag skulle älska att höra om dina sysselsättningar i forumet!

Ha en bra vecka allihopa!

Omslagsbild med tillstånd av Science ABC